Probabilités

18h C / 6h TD / EE / 3 crédits ECTS

Jean-Luc Bauchat (Metz), Pascal Bondon (Gif), Julien Bect (Gif), Mariam Hristache (Rennes), Emmanuel Vazquez (Gif), Armelle Wautier (Gif)

La théorie des probabilités est un outil scientifique privilégié grâce à l'étendue de ses applications. La description de nombreux phénomènes, physiques ou économiques, est facilitée par l'utilisation de concepts et de modèles probabilistes. L'objectif de ce cours est que les élèves sachent pratiquer les démarches de base en probabilité, de façon à aborder les autres cours où ces notions seront utilisées (statistiques, traitement du signal) et en tenant compte aussi de la diversité des domaines où ils se dirigeront à la sortie de l'école (recherche et développement, production, banque, finance...).

Introduction

Premières notions de probabilité

Expérience aléatoire, épreuves- Evénements, -algèbre d'événements - Défintion d'une probabilité et propriétés Exemples sur un espace fini Evénements indépendants Probabilités conditionnelles d'événements Formule de Bayes

Variables aléatoires discrètes

Définition, exemples - Représentation de la loi de probabilité: diagramme en bâtons, fonction de répartition Lois usuelles : loi de type Dirac, uniforme, Bernoulli, Binomiale, Poisson, hypergéométrique Espérance Fonction d'une variable aléatoire Fonction génératrice

Variables aléatoires réelles

Fonction de répartition et différents types de variables Densité de probabilité, propriétés Lois usuelles : loi de type Dirac, uniforme, gaussienne, exponentielle, Cauchy Espérance Moments, variance, inégalité de Bienaymé-Tchebichev Fonction caractéristique, transformée de Laplace

Couples de variables aléatoires et vecteurs aléatoires

Loi conjointe et lois marginales : cas discret et cas des densités Variables indépendantes Espérance Transformation du vecteur Fonction caractéristique Matrice de covariance

Vecteurs gaussiens

Définition d'un vecteur gaussien - Fonction caractéristique d'un vecteur gaussien Transformation linéaire d'un vecteur gaussien Caractérisation de l'indépendance des composantes d'un vecteur gaussien

Lois conditionnelles, espérance conditionnelle

Cas discret : loi conditionnelle et espérance conditionnelle pour un couple de variables aléatoires Cas d'un couple à densité Approche L2 de l'espérance conditionnelle Cas d'un couple gaussien

Théorèmes de convergence pour une suite de variables aléatoires réelles

Les différents types de convergence : presque-sûre, en moyenne quadratique, en probabilité, en loi Hiérarchie entre les différents types de convergence - loi de grands nombres - Théorème de la limite centrale - Application à la loi binomiale : approximation par une loi gaussienne ou par une loi de Poisson

Bibliographie :

F. Brouaye, «La modélisation des incertitudes», Ed. Eyrolles
D. Stirzaker, «Elementary probability», Ed Cambridge University Press
P. Hoel, S. Port, C. Stone «Introduction to the probability theory» Ed Houghton Mifftlin Company