Signaux et systèmes 2

18h C / 6h TD / 18h EL / EE / 4 crédits ECTS

Jacques Antoine (Gif), Philippe Morosini (Metz), Guilaume Sandou (Gif), Hervé Guéguen (Rennes), Daniel Poulton (Gif), Gilles Duc (Gif)

Ce cours, qui s'appuie sur les concepts présentés en Signaux et Systèmes 1, permet d'approfondir l'étude des systèmes linéaires et des signaux qu'ils traitent. Il développe les 2 principaux modes de représentation utilisés pour les systèmes linéaires, et les propriétés qui leur sont associées. Il examine ensuite comment déterminer un modèle linéaire d'un système de façon expérimentale. La dernière partie montre comment traiter des signaux au moyen de filtres linéaires, et comment les calculer à partir d'objectifs spécifiés. Tous les concepts sont présentés en temps continu et en temps discret. Ce cours est un pré-requis pour l'enseignement de l'Automatique et des cours de Traitement du Signal.

Représentation des systèmes

Représentation impérative. Représentation par variables d'état, composition, choix des entrées et des sorties, représentation par schémas blocs. Stabilité : d'un point d'équilibre, d'une trajectoire, au sens de Lyapunov, asymptotique, exponentielle, EBSB.

Systèmes linéaires

Définition, modèle linéaire d'un système. Système invariant. Système causal. Équations d'état ; résolution des équations d'état. Transformée de Laplace, transformée en Z, principales propriétés. Fonction de transfert d'un système linéaire et invariant, réponse en fréquence. Critères de stabilité asymptotique, de stabilité EBSB (Routh/Jury). Cas des systèmes mixtes continu/discret. Passage état-transfert. Formes compagnons.

Systèmes du 1er ordre, du 2ème ordre, d'ordre n

Tracé asymptotique de Bode (rappels). Exemples d'application dans les domaines de l'Automatique et du Signal. Influence de la position des pôles et des zéros de la fonction de transfert sur les réponses temporelle et fréquentielle. Systèmes à phase minimale, systèmes passe-tout, retard pur.

Identification

Problématique de l'identification. Analyse harmonique. Analyse temporelle, modèles particuliers (Strejc,...). Application de la méthode des moindres carrés.

Filtrage

Transmission sans déformation des signaux ; temps de propagation de groupe d'un système. Filtre idéal, filtre réel, notion de gabarit. Différents types de filtres (d'affaiblissement, à phase linéaire, en peigne, à déphasage minimal). Relation entre module et phase de la fonction de transfert. Temps d'établissement. Équation aux différences, filtres RIF et RII, réponse impulsionnelle, réponse en fréquence. Réponse d'un filtre RIF à un signal de longueur quelconque, convolution sectionnée.

Synthèse de filtres

Filtres à temps continu : transformations de fréquence, fonctions d'approximation, critères de minimisation (erreur quadratique). Synthèse des filtres RIF : filtres à phase linéaire, synthèse directe (technique de la fenêtre, technique de l'échantillonnage en fréquence, techniques d'optimisation). Synthèse des filtres RII : simulation d'un filtre analogique, méthode de l'invariance impulsionnelle, méthode de la transformée homographique.

Bibliographie :

J.J. d'Azzo, C.H. Houpis, «Linear Control System Analysis and Design. Conventional and Modern (3rd ed.) », Ed. Mac Graw-Hill, New York, 1988.
Y. Thomas, «Signaux et Systèmes Linéaires», Ed. Masson, Paris, 1992.
P. de Larminat, Y. Thomas, «Automatique des Systèmes Linéaires - Tomes 1 : Signaux et Systèmes et 2 : Identification», Ed. Flammarion Sciences, Paris, 1977.
J.P. Norton, «An Introduction to Identification», Ed. Academic Press., London, 1986.
A. Ambarder, «Analog and Digital Signal Processing», Ed. PWS Publishing Company, Boston, 1995.