Structures fractales, phénomènes chaotiques

18h C dont contrôle / 2 crédits ECTS

Denis Grebenkov (Gif)

Les structures fractales ont été découvertes par les mathématiciens il y a déjà plus d'un siècle et ont été utilisées comme exemples subtils de courbes continues mais non rectifiables, ou de courbes continues mais non dérivables partout. Benoît Mandelbrot réalisa le premier que de nombreuses formes dans la nature présentaient une structure fractale, depuis les nuages, les arbres, les montagnes, certaines plantes, les rivières, les côtes jusqu'à la distribution des cratères de la lune... L'existence de telles structures dans la nature est soit issue du désordre présent, soit provient d'une optimisation fonctionnelle. Il en est ainsi des arbres ou des poumons qui maximisent leur rapport surface/volume.
Les structures fractales sont importantes dans un grand nombre de disciplines scientifiques et tout particulièrement dans plusieurs branches de la physique.

Notion de dimension

Propriétés métriques : dimension topologique, dimension de Hausdorff, dimension de Bouligand-Minkowski

Exemples de structures fractales

Fractales déterministes (tamis de Sierpinski, éponges de Menger, ensembles de Julia ou de Mandelbrot, ...), fractales statistiques (D.L.A., ...).

Structures fractales dans la nature

Reliefs, nuages, fractures, turbulence et chaos, milieux poreux, polymères et gels, surfaces rugueuses, fronts de diffusion, agrégats, couches évaporées, décharges électriques.

Aspects dynamiques des systèmes fractals

Modèles de croissances, modèles épidémiques, phonons et fractons, transport et propriétés diélectriques, impédance d'une interface fractale.