> Accueil > Formation initiale > Programmes du cursus ingénieur > Modules enseignement de tronc commun de deuxième année
Formation initiale
 
Formations
Organisation cursus ingénieur
Organisation cursus Master Recherche
Programmes cursus ingénieur
Programmes cursus Master Recherche
Admission
Débouchés



 
Modules enseignement de tronc commun de deuxième année
 

Représentation et analyse statistique des signaux

18h C / 6h TD / 18h EL / EE / 4 crédits ECTS

Michel Barret (Metz), Jocelin Fiorina (Gif), Gilles Fleury (Gif), Daniel Le Guennec (Rennes), Mithridad Pourmir(Gif)

Après l'étude en première année des bases de la théorie des probabilités et des variables aléatoires, ce cours a pour but d'introduire la modélisation statistique des signaux porteurs d'information à transmettre ou représentant des bruits parasites. Le cours est essentiellement consacré aux propriétés du second ordre qui sont généralement décrites par la fonction de corrélation ou la densité spectrale. Les principaux modèles statistiques de signaux sont étudiés, l'utilité des diverses caractérisations est montrée ainsi que les moyens de la détermination effective des paramètres de ces caractérisations. La détermination des caractéristiques de certaines opérations fondamentales telles que numérisation (échantillonnage et quantification) ou les modulations sont présentées.

Exemples de domaines nécessitant une modélisation statistique des signaux, classes principales d'objectifs

Domaines : Physique statistique, communications, automatique et commande, météorologie, démographie, biologie, économie, astronomie, acoustique... Classes d'objectifs : extraction d'information (estimation de paramètres à partir d'observations temporelles, caractérisation statistique des performances atteintes), extrapolation (prédiction), filtrage.

Description statistique des signaux

Observations et réalisations d'une fonction aléatoire, espace des échantillons. Définition d'un signal (aléatoire) réel par variables aléatoires : loi temporelle et valeurs moyennes. Utilités (liens avec les objectifs) des représentations du second ordre : moyenne et covariance statistique. Introduction de la notion d'ergodisme, utilité de modèles stationnaires, les différents types de stationnarité. Signaux aléatoires du second ordre, propriétés des fonctions de covariance et de corrélation, notion de puissance. Généralisation des concepts : signaux aléatoires vectoriels complexes. Analyse des signaux aléatoires du second ordre : notion de limite, de continuité, de dérivabilité et d'intégrabilité en moyenne quadratique.

Propriétés spectrales

Représentation harmonique des signaux, théorème de Bochner. Cas des signaux stationnaires du second ordre, théorème de Wiener-Khinchin, densité spectrale de puissance. Filtrage des signaux du second ordre et représentation harmonique, formule généralisée des interférences. Cas des signaux stationnaires du second ordre : filtrage et densité spectrale de puissance. Ergodisme et filtrage. Relations du filtrage dans le domaine des z, dans le domaine des p, factorisation spectrale. Matrice spectrale. Echantillonnage des signaux aléatoires, théorème de Shannon. Représentation des signaux à bande étroite. Modulations par des signaux aléatoires stationnaires. Estimation de la fonction de corrélation.

Modèles statistiques de signaux exposés au long du cours comme illustration

Processus de Poisson (signaux associés). Bruit blancs à temps discret, à temps continu (bruits blancs et systèmes linéaires). Signaux gaussiens et signaux gaussiens à bande étroite. Processus de Markov. Représentation paramétrique des signaux (juste la modélisation source-filtre ARMA). Promenades aléatoires et mouvement brownien (signification physique). Bruit de quantification.

Bibliographie :

W.B. Davenport, W.L. Root, An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise ; Wiley-IEEE Press; (December 1987).
A. Papoulis, S. Unnikrishna, Probability, Random Variables and Stochastic Processes (with Errata Sheet), McGraw-Hill Science/Engineering/Math ; 4th edition (December 14, 2001).
B. Picinbono, Signaux aléatoires, tome 2 : Fonctions aléatoires et modèles, Ed. Dunod Université, (1993).
T. Chonavel, S. Vaton, Statistical Signal Processing : Modeling and Estimation ; Springer Verlag; Book and CD-ROM edition (December 15, 2001).